proof - idris 定义证明

In lại 作者：行者123 更新时间：2023-12-05 01:29:16 28 4

powApply : Nat -> (a -> a) -> a -> a
powApply Z f = id
powApply (S k) f = f . powApply k f

powApplyZero : (f : _) -> (x : _) -> powApp Z f x = x
powApplyZero f x = Refl

import Data.ZZ

-- Two functions, f and g, with a proof that g is an inverse of f
data Invertible : Type -> Type -> Type where
  MkInvertible : (f : a -> b) -> (g : b -> a) ->
                 ((x : _) -> g (f x) = x) -> Invertible a b

powApplyI : ZZ -> Invertible a a -> a -> a
powApplyI (Pos Z) (MkInvertible f g x) = id
powApplyI (Pos (S k)) (MkInvertible f g x) =
  f . powApplyI (Pos k) (MkInvertible f g x)
powApplyI (NegS Z) (MkInvertible f g x) = g
powApplyI (NegS (S k)) (MkInvertible f g x) =
  g . powApplyI (NegS k) (MkInvertible f g x)

powApplyIZero : (i : _) -> (x : _) -> powApplyI (Pos Z) i x = x
powApplyIZero i x = ?powApplyIZero_rhs

powApplyNI : Nat -> Invertible a a -> a -> a
powApplyNI Z (MkInvertible f g x) = id
powApplyNI (S k) (MkInvertible f g x) = f . powApplyNI k (MkInvertible f g x)

powApplyNIZero : (i : _) -> (x : _) -> powApplyNI 0 i x = x
powApplyNIZero (MkInvertible f g y) x = Refl

powApplyZF : ZZ -> (a -> a) -> a -> a
powApplyZF (Pos Z) f = id
powApplyZF (Pos (S k)) f = f . powApplyZF (Pos k) f
powApplyZF (NegS Z) f = f
powApplyZF (NegS (S k)) f = f . powApplyZF (NegS k) f

powApplyZFZero : (f : _) -> (x : _) -> powApplyZF 0 f x = x
powApplyZFZero f x = ?powApplyZFZero_rhs

tổng cộng
powApplyI : ZZ -> a <~ a -> a -> a
powApplyI (Pos k) (MkInvertible f g x) = powApply k f
powApplyI (NegS k) (MkInvertible f g x) = powApply (S k) g

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